Basen, Linearkombination

Iduna · Anmeldungsdatum: 15.01.2007 Beiträge: 313

Naja noch so ne blöde Aufgabe grübelnd

Zeigen sie, dass {(1,0), (1,-1)} c

und {(1,1), (1,-1)} c

Basen in

bilden und drücken Sie einen beliebigen Vektor (x,y) Element

als Linearkombination dieser Basen aus.

Auch hier würde ich erstmal wieder versuchen zu erklären, was eine Base ist.
Nun nachdem ich im Internet nix gescheites gefunden habe und nur auf Säure-Basen gestoßen bin, hab ich mir mein tolles Mathebuch zur Hand genommen aber werd aus dem Satz auch nicht so wirklich schlau.

Eine Menge von Vektoren aus V heisst eine Basis von V, falls sie ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist.

Man muss also zwei Eigenschaften beweisen dass eine Menge B von Vektoren eine Basis ist. Sie muss linear unabhängig und ein Erzeugendensystem sein.

Das erklärt mir aber irgendwie immer noch nicht was eine Base ist. Nun muss ich mir erst erklären, was linear unabhängig denn bedeutet...

In der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert Null gesetzt werden.

Nun versteh ich aber wieder nicht, was denn eine Linearkombination ist und werde dies auch nachschlagen.

Eine Linearkombination x\, von endlich vielen Elementen

einer Menge M ist die Summe von beliebigen Vielfachen dieser Elemente.

Naja und jetzt bin ich nur noch total verwirrt unglücklich

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Als nicht Mathematiker würde ich sagen, die lineare Abhängigkeit ist genau dann gegeben, wenn die NxN Determinante, gebildet aus den Vektorkoordinaten Null wird.

Allgemein sind Vektoren linear abhängig, wenn sich ein Vektor daraus als Linearkombination der anderen schreiben lässt.

//edit: abgesehen davon gehört das ins matheboard