Extrema der Entropie

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

Hey,
ich hoffe ihr könnt mir für folgende Aufgabe ein paar Tipps geben:

Es gilt

Zu zeigen ist, dass unter der Nebenbedingung

ein Extremum besitzt, wenn alle Zustände gleich wahrscheinlich sind, also

.

Okay, ich habe jetzt

mal in die Gleichung für S eingesetzt und erhalte

Aber was bringt mir das jetzt? Ich müsste ja eigentlich ein Extremum bezüglich den Variablen von S, also den Impulsen

finden, die jetzt aber in der Funktion gar nicht mehr vorkommen. Also warum soll die Funktion jetzt ein Extremum haben?

Könnt ihr mir sagen wo mein Denkfehler liegt?

Danke!
munich

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Hier liegt eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen vor. Daher kann/muss (ich mache es zumindest immer so...) man die Methode der Lagrange'schen Multiplikatoren anwenden:

Aus dem Minimierungsproblem wird dann die Lagrangefunktion:

für welche du das Minimum bezüglich aller Variablen finden musst. Damit kommst du sofort ans Ziel!

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

Okay, dann hab ich

Jetzt hab ich ja als Gleichungssystem:

und

für alle i zwischen 0 und n.

Und wie löse ich das jetzt auf? Ich meine ich finde für das erste natürlich die lösung 1/n für alle p_r, aber was hat mir das ganze dann gebracht?

danke!

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

uuuups, okay, dann klingt das alles sehr logisch! Augenzwinkern

Danke vielmals für deine ausführliche Hilfe!