Beweis zum Einheitstangentenvektor, kann ich das so machen?

Neko · Anmeldungsdatum: 04.07.2004 Beiträge: 526 Wohnort: Berlin

Ich soll zeigen, dass:

äquivalent ist zu

wobei das h mit dem hütchen der Einheitstangentenvektor an die Kurve in Richtung der Bewegung sei. Glaub mein Beweis ist ein bischen suspekt, schaut ihn euch mal an, und sagt mir ob ich das so machen kann:

=

also eine "nahrhafte" 1 ergänzt, dann:

=

dann integrier ich da den Zähler und leite ihn gleichzeitig ab, darf ich ja, damit veränder ich ja nix:

=

und jetzt ist ja grade:

also bekommt man:

wobei ja

wiederum der Tangenteneinheitsvektor ist, naja und dann hat mans:

kann ich das so morgen abgeben?

navajo · Moderator Anmeldungsdatum: 12.03.2004 Beiträge: 618 Wohnort: Bielefeld

Huhu,

Seh ich das richtig, das

ist?

Also

?

Neko · Anmeldungsdatum: 04.07.2004 Beiträge: 526 Wohnort: Berlin

Ja von der anderen seite hab ich auch erst gedacht, aber dann dachte ich, ich muss von der Definition ausgehen, die zuerst da steht. Na gut, ich schreib einfach hin, dass der Beweis andersherum genauso verläuft...

navajo · Moderator Anmeldungsdatum: 12.03.2004 Beiträge: 618 Wohnort: Bielefeld

Naja, da steht ja letzendlich:

also auch

und

. Ist halt ne Gleichung, ist also egal was links und was rechts steht.

Wenn man sowas hat wie "Zeige, dass A gilt, wenn B gilt". Dann isses nicht mehr egal aus welcher Richtung man ran geht.

yeti777 · Anmeldungsdatum: 10.11.2004 Beiträge: 160 Wohnort: Schweiz

Hallo Neko,

hier meine Version zur Lösung der Aufgabe:

Sei

der Ortsvektor der Kurve und

die Bogenlänge:

, Kettenregel.

Zu zeigen bleibt, dass

ein Einheitsvektor ist.

wegen (*1). Das vorletzte Gleichheitszeichen folgt aus dem Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion. Die Bogenlänge s(t) erfüllt die Voraussetzungen des Satzes.

Gruss yeti