Trägheitsmoment eines Ellipsoids

volley · Anmeldungsdatum: 23.06.2012 Beiträge: 36 Wohnort: Deutschland

Meine Frage:
Ich soll das Trägheitsmoment eines homogenen Ellipsoids berechnen
Drehachse ist die z-Achse.

Die Formel ist klar:

Mein Problem ist: Ich weiss nicht wie ich den Absdand bzw. das Volumen darstellen soll.

Meine Ideen:
Ich denke am einfachsten wäre es in Zylinderkoordinaten.
Hier würde für das Volumenelement gelten:

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Es fehlt meines Erachtens eine Information zum Ellipsoid selber ... grübelnd

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Ich gehe davon aus, dass dein Ellipsoid definiert ist durch

Du kannst zunächst das Volumen des Ellipsoids mittels

in eine Einheitskugel mit

(mit inhomogener Massenverteilung) transformieren. Das Integral sollte in Kugelkoordinaten lösbar sein.

ClickBox · Anmeldungsdatum: 19.02.2012 Beiträge: 124

Wenn der Ellipsoid so definiert ist wie TomS geschrieben hat, solltest du auf folgendes Ergebnis kommen:

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

genau; siehe hier: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moment_of_inertia_tensors

volley · Anmeldungsdatum: 23.06.2012 Beiträge: 36 Wohnort: Deutschland

Danke Leute!
Also wenn ich die Substitution vornehme steht erstmal folgendes:

Den Term unterm Integral formuliere ich um zu:

und nehme das Volumenelement der Kugel:

Dann komme ich insgesamt auf folgendes Integral:

Wenn ich das Integral ausrechne komme ich auf

Kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist?

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

r^2 in deiner Formel sollte der Abstand von der Drehachse sein. Es ist nicht daselbe, wie r in Kugelkoordinaten, welches Abstand vom Ursprung darstellt.

volley · Anmeldungsdatum: 23.06.2012 Beiträge: 36 Wohnort: Deutschland

Stimmt die beiden sind ja nicht gleich.
Für R gleich dem Kugelradius ergibt sich das korrigierte Integral:

Dankeschön

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Ich verstehe das

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

OK, klar

JonnybeGooD · Anmeldungsdatum: 08.07.2012 Beiträge: 1

Hey ich beschäftige mich auch gerade mit dem Trägheitsmoment des Ellipsoiden und Die Diskussion hier hat mir schon sehr weitergeholfen.

Ich frag mich jetzt nur wie man das Trägheitsmoment jetzt auch für die Rotation um die x und die y achse berechnet.
Mein Problem dabei ist es den Abstand zwischen dem Punkt und der jeweiligen Achse zu bestimmen. Ich dachte mir dabei dass dieser gegeben ist durch

für den Abstand zur x Achse.

dann wird das Integral zu:

Was nun ziemlich kompliziert ist und ich komme auf

was offensichtlich nicht stimmt. kann mir da einer helfen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Es ist sinnvoll, bei der Berechnung die Rotationsachse gleich der z-Achse zu wählen, da so die Winkelabhängigkeit einfacher wird. Das Koordinatensystem und damit die Wahl der z-Achse ist ja nur Konvention

Men of steel · Gast

Warum wird eigentlich in Kugelkoordinaten integriert? Hier muss man in den Koordinaten eines Ellipsoiden Integrieren. Das heißt man muss das Integral transformieren und die Determinante der Jacobi-Matrix berechnen und dann in das Integral schreiben. Dann wird integriert in den Grenzen.