analytischer Beweis eines Verhältnisses

Javen · Anmeldungsdatum: 30.09.2012 Beiträge: 5

Hello,

wie beweist man folgende Ansage?

Eine 8m lange Kette liegt mit 5m auf einem Tisch, 3m hängen hernuter. In diesem Zustand rutscht die Kette noch nicht vom tisch, ist aber kurz davor. Der Reibungskoeffizient der Kette auf dem Tisch liegt bei 0,6 (statisch).

Es soll bewiesen werden (analytisch), dass die Kette runterrutscht, wenn das hängende Stück Kette länger als 3m wird.

Was ich bisher habe:
Masse Kette: M,
Masse, das Stück auf dem Tisch: mx,
Masse, das hängende Stück: my
Länge, hängend: ly
Länge, liegend: lx
Gesamtlänge: L
µs = 0,6 (stat. Reibungskoeff.)
M = mx + my
my = M - mx

zum Längenverhältnis:

Es soll als Ergebnis sowas wie 3 rauskommen, also die hängende Länge, ohne dafür Zahlenwerte einzusetzen (wenn ich es richtig behalten hab).

Wo "pusselt" man da los? grübelnd

Ich habe schon mehrere Formel aufgestellt, aber irgendwo hängt es dann bzw. man dreht sich im Kreis.

Gleichgewicht:

Supa! Schon im Kreis gedreht! M auf beiden Seiten kann entfallen, dann beide Seiten mit L multiplizieren und dann bleibt:

Das ist im Prinzip das, was in der ersten Zeile steht, nur nicht mit Massenangaben, sondern mit Längenangaben.

Packo · Gast

Bezeichne die Kettenmasse pro Längeneinheit (also kg/m) mit m.

Dann ist zum Beispiel die Masse der gesamten Kette: 8*m*g

Wie groß ist die Masse, die auf dem Tischliegt?
Wie groß ist die Masse, die herunter hängt?
Wie groß ist die Reibung der Masse, die auf dem Tisch liegt?
Wie groß ist die Kraft, die die Kette vom Tisch zieht?

Wenn du diese 4 Fragen richtig beantwortest, so springt dir die Lösung ins Auge!

Javen · Anmeldungsdatum: 30.09.2012 Beiträge: 5

Das Gewicht der Kette ist unbekannt, tut auch nix zur Sache.
Genau, die Kette wiegt 8*m*g oder allgemeiner M.

Die Masse, die auf den Tisch liegt ist M-my (my = der senkrechte, hängende Teil der Kette), die hängende Masse ist M-mx.

Aber es geht nicht um's ausrechnen, das habe ich schon und das stimmt, es geht um den Beweis.

Ich habe die Einheiten mal weggelassen.
Das ist ausgerechnet, aber nicht der Beweis.

Packo · Gast

Javen,
die Kette ist 8 m lang (nicht L).

Beweis dass die Kette vom Tisch rutscht, wenn das hängende Teil länger als 3 m ist:
(Ich bezeichne nun die Masse mit n (in kg/m).
Sei δ > 0 (irgendeine Zahl)

Das herunterhängende Teil sei nun 3 m + δ m lang.
Auf dem Tisch liegt dann die Länge 5 m - δ m.

Reibkraft = (5 - δ)*n*g*0,6 = n*g*(3 - 0,6*δ)
Ziehkraft = (3 + δ)*n*g = n*g*(3 + δ)

Nun ist sicher 3 + δ > 3 - 0,6*δ
weil 1 > -0,6

Daher: Ziehkraft > Reibkraft QED.

Javen · Anmeldungsdatum: 30.09.2012 Beiträge: 5

Soweit ich das verstanden habe, ist die Länge unbekannt, ebenso die Teillängen. Daher allgemein die Gesamtlänge L und für die hängende Länge ly und das Stück auf dem Tisch lx. Einzig der Reibungskoeff. ist bekannt (0,6). Und damit soll das Verhältnis bestimmt werden bzw. die einzelnen Längen, z. B. die Kettenlänge auf dem Tisch ist 5/8 und das hängende Stück passenderweise 3/8. Irgendwie sowas, nur eben sind keine konkreten Längen bekannt.