Entladungsstrom einer Kugel durch Luft

Max89 · Gast

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
Eine geladene, metallische Kugel hat Anfangs die Ladung Q(0).
Sie entlädt sich nun langsam durch die Luft (spezifischer Widerstand: ~3*10^13 Ohm*m).
Zeigen Sie, dass für den Entladestrom gilt:

und berechnen Sie c!

Meine Ideen:
Ich habe leider wirklich keine Ahnung wie ich da anfangen soll.
Ich habe auf Grund der Entladung und der Exponentialfunktion versucht eine Analogie zur Entladung eines Kondensators zu finden, aber da geht der anfängliche Ansatz praktisch immer über Spannung und das ist ja hier leider schwer zu definieren, ich weiß ja nicht "wohin" die Ladungsträger gezogen werden und welchen Potential dort herrscht.
Ich muss also vermutlich eine DLG für den Strom aufstellen, aber der Ansatz fehlt leider völlig.
Vielen Dank für alle Tipps, Ansätze usw.!
Gruß
Max

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Edit: Hab' den Beitrag erstmal gelöscht. Hatte die Aufgabe nicht genau genug gelesen. Richtige Antwort folgt noch.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Idealisierte Vorstellung: Die Kugel ist von einer auf Erdpotential liegenden konzentrischen Kugel mit unendlichem Radius umgeben. Diese Näherung ist zulässig, sofern sich die Kugel genügend weit von der Erde oder geerdeten Teilen in ihrer Umgebung befindet. Die beiden Kugeln beschreiben einen Kugelkondensator mit einem parallelen Widerstand gleicher Form.

Die Kugel ist auf Q0 aufgeladen, d.h. zwischen ihrer Oberfläche und der unendlich weit entfernten Gegenelektrode liegt die Spannung U0=Q0/C. Diese (Anfangs-)Spannung liegt demnach auch am parallelen Widerstand an. Zur Berechnung des Entladevorgangs bedient man sich des Maschensatzes

mit

und

Der Rest ist einfaches Rechnen:

Nach der Zeit ableiten und durch R dividieren:

Das ist eine homogene Dgl. erster Ordnung, deren Lösung bekanntermaßen lautet

Anfangsstrom aus Anfangsbedingung

Außerdem (s.o.)

Einsetzen in Dgl-Lösung:

Damit ist die in der Aufgabenstellung genannte Entladestromgleichung nachgewiesen. Es ist gleichzeitg gezeigt, dass

Man nennt diese Größe im Allgemeinen die Zeitkonstante

.

Zur Bestimmung der Zeitkonstanten ist also sowohl die Kapazität der Kugel als auch deren Widerstand zur unendlich weit entfernten Gegenelektrode zu berechnen. Das hast Du bestimmt schon einige Male gemacht und dabei das Ergebnis erhalten

und

Da kürzt sich das meiste raus und es bleibt stehen

Die Leitfähigkeit

ist gleich dem Kehrwert des spezifischen Widerstandes

, woraus folgt