| Autor |
Nachricht |
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
 planck1858 Verfasst am: 02. Nov 2013 16:18 Titel: Bewegung |
 |
|
Hi,
ein Körper bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v_0, zum Zeitpunkt t=0 wirkt auf diesen Körper eine Bremskraft, die proportional zur Geschwindigkeit ist und durch folgende Gleichung beschrieben wird. (c entspricht Bremskoeffizient).
Ich soll nun die allgemeine Bewegungsgleichung für diese Bewegung aufstellen, anschließend die Fundamentallösungen bestimmen und die allgemeine Lösung aufstellen.
Mein Ansatz:
Nach dem 2. Newtonschen Axoim gilt:
Setzt man dies mit der Gleichung für die Bremskraft gleich, so folgt nach Umstellung für die Bremsbeschleunigung:
Was ist jetzt hier dem der allgemeinen Bewegungsgleichung gemeint, handelt es sich dabei um das Weg-Zeit-Gesetz:
=v_0 \cdot t-\frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2)
Setzt man den oberen Ausdruck für die Bremsbeschleunigung in den zweiten Tern von s(t) ein, so folgt für das Weg-Zeit-Gesetz:
=v_0 \cdot t-\frac{c \cdot v}{2 \cdot m} \cdot t^2)
Da in der Aufgabe auch die Aufstellung der Weg-zeit-Funktion gefragt ist, wäre dies wohl eher die Lösung und weniger die allgemeine Bewegungsgleichung.
Irgendwie habe ich das Gefühl, dass hier die Frage nach der allgemeinen Bewegungsgleichung und deren Lösung etwas mit einer Differentialgleichung zu tun hat.
Gruß Planck1858
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman)
Zuletzt bearbeitet von planck1858 am 02. Nov 2013 18:10, insgesamt einmal bearbeitet |
|
 |
Wiktoria
Gast
|
| Wiktoria Verfasst am: 02. Nov 2013 18:07 Titel: |
|
|
... eine konstante Bremskraft, die proportional zur Geschwindigkeit ist!
Wie stellst du dir denn das vor? |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 02. Nov 2013 18:10 Titel: |
|
|
Oh, das kostant ist natürlich zu viel, das Bezog sich eher auf eine konstante Anfangsgeschwindigkeit.
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
|
|
Wiktoria
Gast
|
| Wiktoria Verfasst am: 02. Nov 2013 18:39 Titel: |
|
|
Ob die Geschwindigkeit vor dem Zeitpunkt t = 0 konstant oder nicht konstant war, ist unerheblich. Für die Bewegungsgleichungen zählt nur, dass die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0 den Wert v_0 hat.
Die gesuchte Differenzialgleichung ist demnach:
 |
|
|
Wiktoria
Gast
|
| Wiktoria Verfasst am: 02. Nov 2013 18:43 Titel: |
|
|
Schon wieder ein Tippfehler in meiner Antwort:
 |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 02. Nov 2013 20:20 Titel: |
|
|
Wenn aber danach gefragt ist wie das Weg-Zeit-Gesetz auszusehen hat, dann ist doch meine Lösung im ersten Beitrag korrekt, oder?
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
|
|
Wiktoria
Gast
|
| Wiktoria Verfasst am: 02. Nov 2013 20:34 Titel: |
|
|
Nein!
=v_0*t-1/2*a*t^2)
gilt doch nur für a gleich konstant.
Du musst die Differenzialgleichung lösen! |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 02. Nov 2013 20:37 Titel: |
|
|
Und wie löst man solch eine Differentialgleichung, dass haben wir noch garnicht gemacht.
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 02. Nov 2013 20:45 Titel: |
|
|
Der Begriff Fundamentallösung schreit aber geradezu nach dem Lösen von Differentialgleichungen.
Versuchs mal mit nem Ansatz der Form x(t) = a*exp(-lambda*t) |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 02. Nov 2013 20:57 Titel: |
|
|
Du meinst also mit dem Exponentialansatz?
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 02. Nov 2013 20:58 Titel: |
|
|
Ganz richtig.
Du scheinst ihn zu kennen, woher wenn ich fragen darf, wenn ihr das lösen von DGLs noch gar nicht hattet  |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 02. Nov 2013 21:10 Titel: |
|
|
Ich habe das Buch von Klaus Weltner Mathematik für Physiker und habe da schonmal etwas im Kapitel zum Thema Differentialgleichungen gelesen, aber noch nicht durchgearbeitet.
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 02. Nov 2013 21:20 Titel: |
|
|
Jo, dann nutze die Macht der E-Funktion und zeig es der Differentialgleichung.
Bestell ihr schöne Grüße vom Internet. |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 02. Nov 2013 21:42 Titel: |
|
|
Ok, dann werd ich's mal versuchen.
Exponentialansatz:
Zu lösende Differentalgleichung:
Man kann nun  ausklammern:
=0)
Da nicht Null werden kann, lösen wir durch Ausklammern die Nullstellen des zweiten Faktors und erhalten so:
Diese setzen wir nun in den Ausdruck der allgemeinen Differentialgleichung ein:
So müsste es stimmen.
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman)
Zuletzt bearbeitet von planck1858 am 02. Nov 2013 23:35, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 02. Nov 2013 21:53 Titel: |
|
|
Ja.
D.h. du erhälst zwei Fundamentallösungen (im allgemeinen gibt es immer genau so viele Lösungen wie die DGL Grade hat), wobei die eine konstant ist (was daran liegt, dass die DGL eigentlich einer DGL ersten Grades entspricht).
Jede Lösung der homogenen DGL ist durch linearkombination dieser Lösungen gegeben. |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 02. Nov 2013 21:54 Titel: |
|
|
Ok, danke.
Aber wie stelle ich nun das Weg-Zeit-Gesetz auf?
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 02. Nov 2013 21:59 Titel: |
|
|
Hast du doch? Die Lösung ist das Weg-Zeit Gesetz.
Du musst nur noch die Konstanten C1, C2 falls möglich (hab die genaue Aufgabe vergessen) aus den Anfangswerten bestimmen. |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 02. Nov 2013 22:39 Titel: |
|
|
Hier mal die komplette Aufgabenstellung.
Ein Flugzeug muss aufgrund einer Beschädigung der Bremsanlage eine Notladung durchführen. Die Geschwindigkeit, mit dem das Flugzeug unten auf dem Boden aufsetzt beträgt 280km/h. Die Landebahn hat eine Länge von 150m, direkt dahinter befindet sich eine Betonmauer. Der Flughafenboden übt eine zur Geschwindigkeit konstante Bremskraft auf das Flugzeug aus.
1. Bestimmung der allgemeinen Bewegungsgleichung.
2. Bestimmung der Fundamentallösungen der Bewegungsgleichung, sowie die allgemeine Lösung.
3. Bestimmung des Weg-Zeit-Gesetzes, unter der Annahme, dass das Flugzeug zum Zeitpunkt t=0 mit der Geschwindigkeit von v_0 auf der Landbahn aufsetzt.
4. Nach welcher Strecke und welcher Zeit kommt das Flugzeug zum Stehen?
5. Bestimmung des Bremskoeffizienten c, unter der Vorraussetzung, dass das Flugzeug direkt vor der Mauer zum Stehen kommt.
Teilaufgabe 1 und 2 wären ja jetzt gelöst.
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 02. Nov 2013 22:43 Titel: |
|
|
In Punkt 3 hast du alle Anfangsbedingungen gegeben.
y(t=0) = ?
dy/dt(t=0) = ?
Punkt 4)
dy/dt(t = ?) = 0
und dann für dieses t y(t) bestimmen.
Punkt 5)
y(t) = 150 -> c = ... |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 02. Nov 2013 22:54 Titel: |
|
|
Ich verstehe gerade nicht, wie du die Konstanten C_1 und C_2 aus der Aufgabenstellung von 3 bestimmst.
Als allgemeine Lösung gilt ja:
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman)
Zuletzt bearbeitet von planck1858 am 02. Nov 2013 23:35, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 02. Nov 2013 22:56 Titel: |
|
|
Genau.
Dies beschreibt die Bewegung vollständig (im Bereich der Gültigkeit der DGL).
C1 und C2 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen.
dx/dt ist die Geschwindigkeit.
x(t) ist der Ort.
Und für beides hast du Anfangswerte also Werte für den Zeitpunkt t = 0 gegeben. |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 02. Nov 2013 22:57 Titel: |
|
|
Mal für C1:
x(0) = 0 -> C1 = 0.
Jetzt x(t) einmal ableiten, t = 0 einsetzen, dir überlegen welcher Wert in der Aufgabenstellung für dx/dt an der Stelle t = 0 gegeben ist und C2 berechnen. |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 02. Nov 2013 22:58 Titel: |
|
|
| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | Mal für C1:
x(0) = 0 -> C1 = 0.
Jetzt x(t) einmal ableiten, t = 0 einsetzen, dir überlegen welcher Wert in der Aufgabenstellung für dx/dt an der Stelle t = 0 gegeben ist und C2 berechnen. |
Ah sorry, C1 ist nicht zwingend Null, hab mich da verrechnet.
x(0) = 0 -> 0 = C1 + C2 |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 02. Nov 2013 23:00 Titel: |
|
|
=C_1+C_2)
Aber wie soll ich C_2 berechnen, wenn c nicht gegeben ist? Soll ich das dann allgemein berechnen?
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman)
Zuletzt bearbeitet von planck1858 am 02. Nov 2013 23:28, insgesamt 3-mal bearbeitet |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 02. Nov 2013 23:01 Titel: |
|
|
|
Genau und die Ableitung von x(t) nach der Zeit ist an der Stelle t= 0 wie groß? |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 02. Nov 2013 23:04 Titel: |
|
|
=-C_2 \cdot \frac{c}{m})
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman)
Zuletzt bearbeitet von planck1858 am 02. Nov 2013 23:32, insgesamt 2-mal bearbeitet |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 02. Nov 2013 23:05 Titel: |
|
|
Das ist formal nicht richtig. Ist dx/dt zu allen Zeiten gleich groß? Auf der rechten Seite steht zumindest das richtige
Bin nun erstmal weg |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 02. Nov 2013 23:09 Titel: |
|
|
Ich danke dir erstmal.
Da zum Zeitpunkt t=0 für die Strecke x=0 gilt folgt für C_1:
Für die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0 folgt für C_2:
Setzt man nun diese Beziehungen in die allgemeine Differentialgleichung ein, so folgt:
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman)
Zuletzt bearbeitet von planck1858 am 03. Nov 2013 14:01, insgesamt 2-mal bearbeitet |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 03. Nov 2013 03:26 Titel: |
|
|
Richtig!
In der letzten Aufgabe dann noch das c passend bestimmen! |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 03. Nov 2013 09:10 Titel: |
|
|
Echt, das stimmt so? Ich bin gerade etwas verwundert, dass das doch relativ gut geklappt hat.
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 03. Nov 2013 14:00 Titel: |
|
|
Wenn ich nun die Bremszeit allgemein angeben möchte,dann muss ich doch die Weg-Zeit-Funktion nach t auflösen, oder?
=\frac{v_0 \cdot m}{c}-\frac{v_0 \cdot m}{c} \cdot e^{-\frac{c}{m} \cdot t})
Ist das was ich bis jetzt gemacht habe soweit korrekt?
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 04. Nov 2013 17:36 Titel: |
|
|
Kann mir denn keiner helfen?
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
|
|
kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
|
| kingcools Verfasst am: 04. Nov 2013 17:59 Titel: |
|
|
Ich hatte doch bereits geschrieben, dass das stimmt.
Du musst in der letzten Aufgabe eben nur noch das c derart festlegen, dass sich ein Weg von 150 m(?) einstellt. |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
