Bewegung

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Eine Murmelbahn, welche zwei gleich hohe gelegene Punkte A und B miteinander verbindet, soll so konstruiert werden, dass eine Murmel sie in möglichst kurzer Zeit durchläuft.

Die optimale Lösung hierfür ist eine Brachistochrone und wird parametisiert durch

Der Parameter \gamma läuft von Null bis 2\pi, und mit R kann die Größe der Bahn skalliert werden. Wenn die Murmel zur Zeit t=0 im Punkt (0,=) ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen wird, wird die Bewegung durch

beschrieben (g=Erdbeschleunigung).

a) Wie groß ist der horizontale Abstand d zwischen Anfangs- und Endpunkt?

b) Welche Geschwindigkeit hat die Murmel beim Durchlaufen der Bahn? Wie groß ist ihr Betrag v(t)?

c) Zeige rechnerisch, dass die Energie im Laufe der Bewegung erhalten bleibt (die Murmel gleitet reibungsfrei).

d) Berechne den Beschleunigungsvektor und dessen Betrag.

e) Berechne die Bogenlänge s der Bahn und vergleiche diese mit dem horizontalen Abstand zwischen Anfangs- und Endpunkt.

bassiks · Anmeldungsdatum: 11.08.2010 Beiträge: 194

Eigene Ideen?

Namenloser324 · Gast

Na Planck, als langjähriger Nutzer des Forums solltest du doch eigene Ideen posten Zunge raus

Mal zu a) Welchen Wert nimmt denn Gamma am Anfang bzw. am Ende an?
b) Definition der Geschwindigkeit? Dann Kettenregel (oder direkt einsetzen)
c) Energieerhaltungssatz -> Gesamtenenergie aufstellen und nach der Zeit ableiten
d) Definition der Beschleunigung?
e) Die Bogenlänge ist als Integral welcher Größe bekannt?

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

a) Der horizontale Abstand zwischen Anfangs- und Endpunkt beträgt d=2 \pi R.

b)

Nur bei der Berechnung des Betrags, kommt irgendwie Mist heraus.

c)

Um zu zeigen, dass Energieerhaltung gilt muss doch gelten:

Dies kann ich aber auch erst dann zeigen, wenn Teilaufgabe a) korrekt habe.

d)

e)

Die Bogenlänge bestimmt man ja, indem man den Betrag der Geschwindigkeit von 0 bis t integriert.

bassiks · Anmeldungsdatum: 11.08.2010 Beiträge: 194

Zu b.) Bei Punkt d hast du es auch geschafft. Vermutlich hast du dich hier nur verrechnet. Was kriegst du denn raus als Betrag?
Wenn wir diesen Fehler gefunden haben, solltest du den Rest schaffen...

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Ich werde die b) jetzt nochmal nachrechnen.