Zwei-Niveau-System

Jörg · Gast

Hi! Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe. Ich studiere im dritten Semester Physik. Ein physikalisches System sei durch einen zweidimensionalen Hilbertraum beschrieben. Der Hamilton.Operator laute:

H=(0 a ) soll ne Matrix darstellen mit a,b reell
(a 2b)

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren zu H. Welche physikalische Interpretation bietet sich an für die Zahlen a und b?

Mir fehlen zu dieser Aufgabe diie Formeln, es stehen zwar einige im Skript, doch weiß ich nicht genau, wie ich anfangen soll.

Wär cool, wenn ihr mir helfen könntet.

Euer Jörg

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ganz einfach:

Du berechnest die Energieeigenwerte gemäss

Und erhältst in deinem Fall:

Es liegen 2 gekoppelte Energieniveaus vor, die Kopplungskonstante ist a.
Wäre a=0 so hättest Du die Energien E1=0, E2=2b. Ansonsten hast du eine Energieshift nach unten und oben, Abhängig von a.

Du siehst: Die Diagonalelemente des Hamiltonoperators geben die Eigenwerte (Energiniveaus) des ungestörten Systems wieder. Deine gegebenen Basiszustände (jene in welcher der Hamiltonoperator angegeben ist) sind daher keine stationären Zustände. Diese bekommst Du durch Überlagerung (rechne selbst nach !)

welche gleichzeitig die Eigenzustände sind ! In diesen neuen Basiszuständen der Energie ist H tatsächlich diagonal.

Die Übergangsmatrixelemente geben die Kopplung zwischen den Energieniveaus an:

Ein System welches sich anfangs in einem deiner Basiszustände befindet wird eine von der Zeit abhängige Wahrscheinlichkeit haben, in den anderen Basiszustand zu wechseln und umgekehrt.

Es gilt ja die Schrödingergleichung:

Beispiel: bindender und antibindender Zustand in der Chemie

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Ich hab für die Eigenwerte ein a^2 zum Schluß unter der Wurzel. Oder hab ich mich verrechnet?

Gruß
Marco.

Gast