Multipolentwicklung

Lucho · Gast

Hi.

Folgende Frage zur Multipolentwicklung. Das Prinzip habe ich im Wesentlichen verstanden, aber es geht um einen Rechen-Kniff um zur endgültigen Formel zu gelangen.

Wir gehen also aus von einem Fernfeld

. Formt man den Term

in der Potentialgleichung trickreich um und entwickelt nach Taylor, kommt man auf diese Gestalt, die ich auch so selber nachrechnen kann:

__________(1)

Wo es jetzt aber an Detailverständnis mangelt ist wie man auf diese Endform gelangt (laut Lösung einfach nur die obige Gleichung (1) etwas umsortieren):

__________(2)

Ich mache das mal explizit.

(habe im Prinzip die Terme erstmal ausgeklammert)

Wenn man den 3. Term um r^2 erweitert kommt man dann auf:

Es bleibt also noch ein Term übrig. Jetzt ist die Frage:

1. Habe ich falsch gerechnet und deshalb bleibt dieser Term übrig.
2. Verschwindet der Term aus irgendeinem Grund (=0)?
3. Der Term verschwindet nicht, wird aber im "..." vernachlässigt, weil er irrelevant ist (falls dem so ist, warum?).

Bitte um Unterstützung. Vielen Dank.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Ohne jetzt jeden Schritt der Rechnung nachzurechnen:
Der 3/8-Term in der letzten Zeile ist von höherer Ordnung in r'/r und deswegen zu vernachlässigen.

Lucho · Gast

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Zaehl mal die Potenzen von r'/r die in jedem Term vorkommen.

Lucho · Gast

Na ja, unter Potenz von r'/r verstehe ich:

(r'/r)^1 = 1. Potenz
(r'/r)^2 = 2. Potenz
usw.

, wenn meine Grundschulmathematik mich jetzt nicht völlig in die Irre führt.

Was ist denn jetzt aber die Potenz von sowas wie

?

und damit 1. Potenz, oder wie?

= 0. Potenz.

Jetzt habe ich beim 1/2-Term aber noch sowas stehen:

= 2. Potenz?

Ist das so richtig gedacht? Dann stünde im 3/8-Term eben eine 3. und 4. Potenz und da wir nur bis zur 2. Ordnung getaylort haben, fallen Ordnungen größer 2 weg?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Genau, das ist richtig.