drei gekoppelte Federn

wopi · Anmeldungsdatum: 25.12.2014 Beiträge: 35 Wohnort: Deutschland

Meine Frage:
Hallo. habe Vorstellungsprobleme mit der Lösung für die Eigenfrequenzen w des

Systems FEST--Feder-m-Feder-m-Feder--FEST

(Massen m gleich, Federn gleich mit Federkonstante k).

w1^2 = k/m und w2^2 = 3k/m

Meine Ideen:
Die zwei Bewegungsgleichungen m * xi'' + 2k * xi - k * xj = 0
führen nach der Substitution z1 := x1 + x2 und z2 := x1 - x2
auf das äquivalente System m * z1'' + k * z1 = 0 und m * z2'' + 3k * z2 = 0

Wieso schwingt das System mit jeweils einer der o.g. Frequenzen, wenn diese in der anderen Gleichung nicht passt??
BEIDE Gleichungen müssen doch bei der Schwingung gelten!?

wopi · Anmeldungsdatum: 25.12.2014 Beiträge: 35 Wohnort: Deutschland

Kann mir das wirklich keiner erklären?

jumi · Gast

Ein System mit n Freiheitsgraden hat n Eigenfrequenzen.
Dein System hat 2 Freiheitsgrade, also 2 Eigenfrequenzen.

Die Gleichungen in z sind zwei "entkoppelte" Differenzialgleichungen.
Resonanz herrscht, wenn das System entweder mit ω²=k/m oder mit ω²=3k/m erregt wird.

Salopp ausgedrückt: beide Gleichungen gelten aber nur eine ist jeweils "in Resonanz" und die andere schwingt eben nur so mit.