Auto in Schwingung: gedämpfter harmonischer Oszillator

der.maismann · Gast

Meine Frage:
Servus!
Stehe grade vor nem problemchen bei ner übungsaufgabe, um komme ums verrecken nicht weiter:
"Ein Auto mit einer sehr weichen Federung fährt auf der Autobahn bei t = 0 über ein Schlagloch und wird
in Schwingungen versetzt: A(t) = A exp(-?t) cos (?t)."
jetzt soll ich die dämpfungskonstante "?" bestimmen, so, dass die schwingung schnellstmöglich abklingt (mit der Näherung ? = ?0, aber das sagt mir einfach nix!).

Meine Ideen:
die einzige idee, die ich hatte, war, dass "?" möglichst groß sein muss, damit die amplitude=0 wird, aber da ich in einer folge-aufgabe mit einem exakten wert für "?" rechnen muss, ist "?"=unendlich ja schwachsinn.
hat irgendwer einen ansatz für diese eigentlich banale aufgabe?
vielen dank!

der.maismann · Gast

hmm, irgendwie hat er die zeichen nicht geschluckt, also nochmal:
da soll stehen: A(t)=A*e^(-gamma*t)*cos(omega*t), wobei die dämpfungskonstante gamma sein soll und die näherung omega=omega0 gelten soll. hoffentlich hilft das so weiter Augenzwinkern

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Nein, mit unendlicher Dämpfung käme das Auto nie aus seiner Ablenkung raus, das ist ja auch nicht das Ziel.

Es geht vielmehr um den aperiodischen Grenzfall.

Falls Du dazu noch weitere Fragen hast, stell sie einfach.

Viele Grüße
Steffen

der.maismann · Gast

danke erstmal für die antwort! wüsste nur gerne, WARUM es der aperiodische grenzfall ist, dass erschließt sich mir nicht ganz.
die einzige formel, die ich dafür habe ist: x(t)=lim w->0 [x0*cos(wt)+(x0*gamma+vo)*sin(wt)/w]e^-(gamma*t)
ich nehme mal stark an, dass in meinem fall A=x0 ist und der sinus-anteil nicht vorhanden ist. bleibt dann nur die frage, was ich für A und t einzusetzen habe, um an gamme zu kommen. w=w0=sqrt(D/m) hilft mir insofern nicht weiter, als das ich beides nicht gegeben habe und alpha/m=gamma (alpha aus der stokes-reibung Fr(x')=-alpha*x') bringt mir ebenso nicht viel. wenn ich also A(t)=A*cos(w0*t)*e^-(w0*t) habe (da im aperiodischen grenzfall ja gamme=w0 gilt, oder hab ich das falsch verstanden), kann ich das doch als 0.5*e^((-1-i)*w0t)+0.5e^((-1+i)*w0t) schreiben und dann per logarithmus gesetzen zusammenfassen, da ln(a)+ln(b)=ln(a*b) ist, wodurch der imaginäre anteil eigentlich wegfallen sollte, oder sehe ich da was falsch?
hoffentlich wird jemand daraus schlau, sry wenns komplett unverständlich ist

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Die Herleitung der Lösung des aperiodischen Grenzfall findest Du ebenfalls im genannten Link, aber auch bestimmt in Deinem Physikbuch.

Dass es der aperiodische Grenzfall sein muss, ergibt sich aus der dort ebenfalls genannten Tatsache:

der.maismann · Gast

hab mich wohl ziemlich unklar ausgedrückt.
die herleitung des aperiodischen grenzfalls hab ich soweit ganz gut verinnerlicht, aber ich verstehe nicht, WIESO es in diesem fall der aperiodische grenzfall sein muss.
und die frequenz wollte ich nie =0 setzen.
in der folgeaufgabe soll ich mit der berechneten dämpfungskonstante noch errechnen, wann die amplitude auf 5% ihres anfangswertes gesunken ist.
dafür wollte ich dann A*0.05=A*e^-(gamma*t)*cos(w*t) ausrechnen, wodurch dann natürlich 0.05=e^-(gamma*t)*cos(w*t) gilt. wie ich das dann mathematisch unforme, da hab ich keine ahnung!

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

der.maismann · Gast

ok, jetzt haste mit wirklich weitergeholfen, vielen dank!
zur gleichungslösung: ich weiß doch, dass gamma=w0 und näherungsweise w=w0 ist. dann kann ich das produkt aus e und cos als eine summe zweier e-funktionen mit imaginären exponenten schreiben, was dann (mMn) so aussehen müsste: 0,05=0,5*e^[(-1+i)w0t]+0,5*e^[(-1-i)w0t]. dann nutze ich die logarithmusgesetze mit: ln(a+b)=ln(a*b), sodass ich erhalte: ln(0.1)=-2w0t und (ln(0.1) ca -2.3) t=1.15w0 ist. darf man das so machen?
danke auf jeden fall bis hierhin!

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Ich bin nicht sicher, ob ich verstehe, wie Du

über Logarithmengesetze vereinfachen willst. Wenn Du links und rechts logarithmierst, erhältst Du

Du kannst aber ln(a+b) nicht vereinfachen.

Wie gesagt, nimm Newton.

der.maismann · Gast

ok, dann hab ich irgendwas bei den gesetzen durcheinandergeworfen.
newton verfahren hab ich grad nicht präsent und kanns daher leider nicht. gibts da wirklich keinen einfacheren lsg-weg?

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Wie gesagt, grafisch oder mit dem Taschenrechner. Schau, bei welchem x gilt

. Müsste sowas im Bereich 1,3 sein.

der.maismann · Gast

oh mann, na klar. bin einfach nich darauf gekommen, dass ich w0t mit x ersetzen kann.
also habe ich dann w0t=1.37 raus, aber ich suche ja eigentlich nur t, was dann t=1.37/w0 wäre.
ergibts denn sinn, dass die zeit von w0 abhängig ist? wenn ja, dann dürfte die aufgabe so gelöst sein und ich bedanke mich sehr für die großartige hilfe!

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462