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Relp
Gast
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 Relp Verfasst am: 31. Mai 2016 16:00 Titel: Lagragegleichung einer relativistischen Bewegung |
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Hallo alle zusammen,
Ich brauche bei folgender Aufgabe Hilfe. Vielleicht könnt ihr mal drübergucken und mir Tipps geben.
Für ein relativitisches Teilchen der Masse  , auf das keine Kräfte wirken, lautet die Lagrange-Gleichung
 = -mc^2\sqrt{1-\left(\frac{|v|}{c}\right)^2}) .
Bestimmen Sie zunächst ) . Anschließend bestimmen Sie ) für die Anfangswerte  = x_0) , =v_0) .
Zunächst stelle ich die Euler-Lagrange-Gleichung auf:
 .
Integriere ich diese einmal nach  , erhalte ich:
 .
Auflösen nach der Geschwindigkeit ergibt:
 = \frac{ca}{\sqrt{m^2c^2+a^2}}) .
Dies widerrum integriert liefert:
 = \frac{ca}{\sqrt{m^2c^2+a^2}}t+x_0) .
Ich frage mich jetzt, ob hier nicht vielleicht was schief gelaufen ist. Wo muss ich  einbauen? Wäre gut, wenn ich Feedback kriegen könnte  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 31. Mai 2016 16:18 Titel: |
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v0 sollte beim ersten integrieren auftauchen, so wie x0 beim zweiten auftaucht. |
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Relp
Gast
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| Relp Verfasst am: 31. Mai 2016 17:26 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | v0 sollte beim ersten integrieren auftauchen, so wie x0 beim zweiten auftaucht. |
Ok, d.h. das  muss man durch ersetzen, nur ich habe Schwierigkeiten, das zu interpretieren. Dort steht ja dann schlussendlich:
 = \frac{cv_0}{\sqrt{m^2c^2+v_0^2}})
D.h. die Geschwindigkeit ist konstant, aber eben nicht konstant , was ich jetzt erstmal erwarten würde. Wie lässt sich das erklären?
Ist die Rechnung an sich denn richtig? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 31. Mai 2016 20:28 Titel: |
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| Relp hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | v0 sollte beim ersten integrieren auftauchen, so wie x0 beim zweiten auftaucht. |
Ok, d.h. das muss man durch ersetzen, |
Nein, das ist falsch. Du musst entweder die Integration explizit ausführen um zu sehen was rauskommt, oder a aus v0 bestimmen. |
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Relp
Gast
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| Relp Verfasst am: 01. Jun 2016 06:12 Titel: |
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Aber es gilt doch einfach
 ,
oder nicht? Oder was meinst du damit, ich solle das Integral explizit ausführen? Tut mir leid, aber ich stehe irgendwie auf dem Schlauch und weiß nicht, worauf du hinaus willst.
Und wie soll ich aus bestimmen, wenn ich noch gar nicht habe? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 01. Jun 2016 09:20 Titel: |
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| Relp hat Folgendes geschrieben: | Aber es gilt doch einfach
,
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Hier fehlt noch was... entweder Grenzen oder Integrationskonstanten.
| Zitat: |
Und wie soll ich aus bestimmen, wenn ich noch gar nicht habe? |
v0 ist doch gegeben. |
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Relp
Gast
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| Relp Verfasst am: 01. Jun 2016 15:13 Titel: |
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Also, was ist denn bloß los? Nochmal:
Wenn ich in
beide Seiten integriere, komme ich doch auf
 ,
wobei  Konstanten sind, oder? Was ist davon jetzt ? Sorry, dass ich hier so stecken bleibe, aber vielleicht kannst du mir was auf die Sprünge helfen, weil ich einfach eine Blockade habe. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 01. Jun 2016 15:17 Titel: |
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| Relp hat Folgendes geschrieben: |
beide Seiten integriere, komme ich doch auf
,
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Wenn Du das unbestimmte Integral berechnest, ja.
| Zitat: |
wobei Konstanten sind, oder? Was ist davon jetzt ? |
Keins von beiden. Aber diese Gleichung gilt ja für alle t... |
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Relp
Gast
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| Relp Verfasst am: 01. Jun 2016 15:26 Titel: |
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Das heißt, wenn ich die obige Gleichung nach  umforme, dann erhalte ich einen konstanten Ausdruck, der dann auch ist, also:
 = \frac{c(a-b)}{\sqrt{a^2-2ab+b^2+c^2m^2}} =: v_0) ? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 01. Jun 2016 15:29 Titel: |
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Ja und das ist ja auch gut so, da ein freies Teilchen seine Geschwindigkeit nicht ändern sollte. |
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Relp
Gast
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| Relp Verfasst am: 01. Jun 2016 15:32 Titel: |
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Dass die Geschwindigkeit konstant ist, habe ich mir schon gedacht, da ja keine Kraft auf das Teilchen wirkt. Was mich nur sehr irritiert, sind die Integrationskonstanten und  . Das war auch der Grund, warum ich sie erst ganz weggelassen und mich dann gefragt habe, welche von beiden nun ist.
Wie kann man die beiden Variablen also interpretieren? Kannst du da was zu sagen? |
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jh8979
Moderator
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Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 01. Jun 2016 15:34 Titel: |
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Guck Dir mal die erhaltene Größe an... sie sollte Dir bekannt vorkommen. |
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Relp
Gast
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| Relp Verfasst am: 01. Jun 2016 15:37 Titel: |
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Ich muss dazu sagen, dass diese Aufgabe im Rahmen einer Vorlesung über klassische Mechanik mit aktuellem Thema Lagrangeformalismus gestellt wurde. Es ging also lediglich darum, zu sehen, wie man mit einer Lagrangefunktion umgeht. Zu den Gleichungen der Relativitätstheorie an sich kann ich nicht viel sagen (warum auch immer dann diese relativistische Lagrangegleichung genommen wurde). Von daher eventuell auch meine Verwirrung. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 01. Jun 2016 15:39 Titel: |
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Zumindest der Zähler sollte Dir bekannt vorkommen... und wenn Du schon SRT gehört hast auch in Kombination mit dem Nenner (und dann weisst Du auch wieso genauso diese Lagrangefunktion gewählt wurde). |
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Relp
Gast
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| Relp Verfasst am: 01. Jun 2016 15:45 Titel: |
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Ich hab SRT noch nicht gehört. Ist für mich noch so gut wie völlig unbekannt, tut mir leid  |
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jh8979
Moderator
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Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 01. Jun 2016 15:45 Titel: |
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| Relp hat Folgendes geschrieben: | | Ich hab SRT noch nicht gehört. Ist für mich noch so gut wie völlig unbekannt, tut mir leid |
Der Zähler? Das wäre aber ungünstig...
PS: Macht man keine SRT mehr in Ex1? |
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Relp
Gast
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| Relp Verfasst am: 01. Jun 2016 15:50 Titel: |
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SRT kommt erst in Theo II. Kannst du mir nicht einfach auf die Sprünge helfen? Ich komm einfach nicht drauf. |
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jh8979
Moderator
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Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 01. Jun 2016 15:52 Titel: |
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Den Zähler schaffst Du alleine, das ganze ist dann die relativistische Version dieses klassischen (nicht-rel) Objektes. |
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Relp
Gast
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| Relp Verfasst am: 01. Jun 2016 15:57 Titel: |
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Ich weiß einfach nicht, was ich bei ) , wobei und Konstanten sind, noch machen soll... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 01. Jun 2016 16:02 Titel: |
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ah... Nicht die erhaltene Größe mit a's und b\s. Die ist ja nun die Geschwindigkeit wie bekannt. Gemeint war die original hergeleitete erhaltene Größe, deren Ableitung verschwindet (und die somit gleich b-a ist in Deiner Notation):
| Relp hat Folgendes geschrieben: |
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Relp
Gast
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| Relp Verfasst am: 01. Jun 2016 16:05 Titel: |
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Ach so, jetzt ergibt das Ganze auch Sinn. Wir haben wohl aneinander vorbei geredet. Da der Zähler der Impuls ist, ist die ganze Gleichung wohl der relativistische Impuls.
Nur was sind dann die Größen  in der Endgleichung? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 01. Jun 2016 16:07 Titel: |
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Genau. Nur die Differenz b-a tritt auf und das ist genau der relativistische Impuls. |
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Relp
Gast
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| Relp Verfasst am: 01. Jun 2016 16:11 Titel: |
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Ok, jetzt ist es endlich rund und es ergibt einen Sinn. Vielen Dank für deine Geduld  |
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