Variation Yang-Mills action in Koordinaten

Yin Yang · Gast

Hallo zusammen,

ich würde gerne die Bewegungsgleichung für Yang-Mills-Felder aus der Wirkung berechnen und zwar in Koordinaten.

Gefunden habe ich folgende Form

In Koordinaten erwarte ich (in Anlehnung an den Maxwell Lagrangian)

,

mit

und

Die Bewegungsgleichung in Koordinaten ist bekannt

Jetzt habe ich verschiedene Probleme, die ich gerne klären würde smile

Also das Eichfeld ist in der Minkowski-Raumzeit definiert, d.h. der Raum ist flach und raisen und lowern funktioniert nach wie vor mit der Minkowski-Metrik

.

Richtig? Ich bin etwas verwirrt, da das Eichfeld einen Kovariante Ableitung definiert, der Raum aber trotzdem Flach ist. Vorher bin ich, z.b. in der Relativitätstheorie, nur mit Kovarianten Ableitungen in Kontakt gekommen, wenn sie aus der Metrik eines gekrümmten Raumes folgten, d.h. raisen und lowern funktioniert mit der allgemeinen Metrik.

D.h. die Taylor-Entwicklung ist auch durch die partiellen Ableitungen und nicht durch die Kovarianten ableitungen gegeben?

Abgesehen davon habe ich noch eine oder mehrere weitere Fragen, die ich nachreichen werde, da ich jetzt keine Zeit mehr habe.

Vielen Dank schonmal!

bassiks · Anmeldungsdatum: 11.08.2010 Beiträge: 194

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21594

Ja, Heben und Senken der Indizes funktioniert mittels flacher Minkowsimetrik.

Nein, wie oben beschrieben, die kovariante Ableitung in der adjungierten Darstellung

bezieht sich auf die Eichgruppe, nicht auf die Raumzeit.

Zur Berechnung der Feldgleichungen mittels Variation der Lagrangedichte ist es m.E. einfacher, die Komponenten- statt der Matrix-Darstellung zu wählen:

Die T's entsprechen den Generatoren der Lie-Algebra in der adjungierten Darstellung mit (über doppelt auftretende Indizies a wird summiert).

Für Taylorentwicklungen sehe ich zunächst keinen Anwendungsfall.

Yin Yang · Gast

Ok, danke euch!

Das Eichfeld ist mit

angegeben und die Kovariante Ableitung mit

, bzw.

Insgesamt heisst das also, dass

,

wobei

eine relle Zahl ist und

ein gewöhnliches Differential und

eine Darstellungsmatrix der Lie-Algebra?

(Mit Taylorentwicklung meinte ich die Variation

)