Trägheitsmoment ermitteln mit integral

Tutu · Gast

Berechnen Sie das Trägheitsmoment von einem Quader der Masse m mit den Seitenlängen a, b und c. Der Quader soll sich um eine Achse drehen, die durch seinen Schwerpunkt geht und senkrecht auf der von a und b gebildeten Fläche steht.
Hinweis, legen Sie den Schwerpunkt des Quaders in den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems wobei die Kante mit der Länge a parallel zur x-Achse liegt und die Kante
mit der Seitenlänge b parallel zu y Achse. Die Drehung erfolgt dann um die z-Achse.
Mehrdimensionale Integrale kann man berechnen, indem man sie in beliebiger Reihenfolge in Integrale über die einzelnen Koordinaten aufspaltet und nacheinander berechnet:
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ (∫ f (x, y)dx)dy

So, dies is nun die aufgabe, die mir sorgen bereitet. Es ist nicht das Problem, dass INtegral zu lösen, wenn es erst mal steht. Sondern ich habe das Problem, erstmal das INtegral aufzustellen.

SO hatten wir es gemacht:

(ups, tut mir leid, das vor dem integral br steht. gehört natürlich nicht zum INtegral.)

Könntet ihr mir bitte sagen, wie das INtegral zustande kam?

ich wüsste echt gern wie man das integral so zustande bekommt. ich komme aber einfach ncht dahinter traurig

// Edit: Das <br> steht für eine neue Zeile im Latex-Code. Wenn sowas auftaucht, hast du die Return-taste benutzt und die kann nicht dargestellt werden. Tox

Nikolas

Bei dem Träghgeitsmoment integrierst du über das gesamte Volumen. Dabei musst du jeden Punkt in deinem Körper mit deinem Integral erreichen. Da der Urspung hier im Körpermittelpunkt liegt, ist z.B. in x-Richtung ein Punkt maximal a/2 von der y-z-Ebene entfernt. Also musst du hier von -a/2 bis a/2 integrieren. Entsprechend in den anderen Dimensionen.
Der Ausdruck

ist aber falsch. Es müsste nur

heissen, da hier der Abstand eines Massepunktes zur Drehachse (hier die y-Achse) stehen muss.
Und das m/(abc) steht für die Dichte des Körpers.
Definiert ist der Trägheitsmoment über

, also das Integral über die Massepunkte. Das kann aber auch als

, also als Integral über das Volumen geschrieben werden, was hier gemacht wurde. Da die Dichte hier konstant ist, wurde die Dichte schon aus dem Integral gezogen.

Tutu · Gast

jetzt habe ich es kappiert LOL Hammer

danke Toxman

dann hätte ich aber noch eine Frage zu dieser AUfgabe. Und zwar, wenn ich jetzt z.B anstelle des Quaders nun mhhhh was könnte man da zb nehmen grübelnd

? ah ja einen Zylinder nimmt, wie müsste da das integral heißen? das ist glaube ich schon etwas schwieriger oder? oder geht das vielleicht noch nicht mal?
oder Kugel wie steht es damit?

ich habe mal geguckt. um ehrlich zu sein, wüsste ich es nicht wirklich wie man es da anwenden müsste. ich frage nur aus interesse. wie man da das integral bilden könnte.

aufjedenfall schon mal vielen dank für die tolle erklärung

Nikolas

Bei der Kugel wirst du Zylinderkoordinaten brauchen. Die Herleitung kannst du dir hier anschauen. Für die Vollkugel musst du einfach a=R setzen.

Für den Zylinder kannst du dir mal das Skript anschauen, dass ich im gleichen Beitrag verlinkt habe.