Eigenwerte hermitescher Operator

Timo_11 · Gast

Meine Frage:
Hallo,
kann man zeigen, dass ein Operator

, der nur reelle Eigenwerte besitzt, hermitesch ist (d.h. für alle

)?

Meine Ideen:
Ich konnte bis jetzt nur die Umkehrung zeigen, nämlich dass alle Eigenwerte eines hermiteschen Operators reell sind.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21593

Zunächst mal sollten wir klarstellen, das so die Mathematiker das als symmetrischen Operator bezeichnen und den Begriff klar vom selbstadjungierten Operator unterscheiden.

Dann darfst du wohl annehmen, dass mit Eigenwerten tatsächlich Eigenwerte im Sinne des diskreten Spektrums gemeint sind, und dass kein kontinuierliches Spektrum vorliegt, das Spektrum also rein disket ist (andernfalls ist der Beweis m.E. viel technischer).

Ich schlage dir außerdem vor, die Notation etwas zu präzisieren, also nicht die bra-ket-Notation, sondern explizit

Was weißt du sonst noch über symmetrische Operatoren, d.h. was darfst du verwenden?

Timo_11 · Gast

Danke für deine Antwort!

Vielleicht hätte ich noch dazu sagen sollen, dass wir komplexe Hilberträume betrachten; und da ist ja hermitesch und symmetrisch nicht dasselbe, oder?

Das ist nicht direkt eine Aufgabe aus der Vorlesung und ich weiß nicht mal, ob die Aussage überhaupt stimmt. Wäre aber schön, wenn man es mit den grundlegenden Eigenschaften des Skalarprodukts zeigen könnte. smile

Timo_11 · Gast

Moment, mir fällt gerade etwas ein: Sind nicht Dreiecksmatrizen mit reellen Einträgen Gegenbeispiele? D.h. nur reelle Eigenwerte, aber nicht symmetrisch/hermitesch?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21593

Ja, da hast du wohl recht