Beweis Grassmann Identität mit Epsilon Tensor

Physik2018 · Gast

Meine Frage:
Zu Zeigen:

Da die vier Indizes

,

und

jeweils nur drei verschiedene Werte annehmen können, muss mindestens ein Indexpaar den gleichen Wert haben. Aufgrund der oben beschriebenen Vertauschungseigenschaft (zyklische und anti-zyklische Permutation der Indizes), braucht man nur die folgenden beiden Fälle zu beweisen:

Fall 1:

und

,

beliebig (alle anderen Fälle ergeben sich aufgrund der Vertauschungseigenschaften automatisch)

Fall 2:

und

und latex] i=l[/latex] (Analoge Fälle für verschiedene Indizes ergeben sich aus den Vertauschungseigenschaften des Epsilon Tensors).

Aufgabe: Verifizieren Sie die Grassmann Identität für Fall 1 und Fall 2

Meine Ideen:
Fall 1 habe ich schon gezeigt, das ist ja ganz einfach :-)

Für Fall 2 habe ich bis jetzt kaum Ideen. Alles was ich versucht habe, hat zu einem Widerspruch geführt. Könnt ihr mir helfen, die Aufgabe zu lösen? Das wäre sehr nett.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Zuerst einmal: in der Behauptung oben ist ein Index im ersten Kronecker-Delta falsch.

Zum Fall 2: Man kann hier nochmals 2 Unterfälle unterscheiden:

Fall 2a)

. Dann ist

(die

sind nur für ein k ungleich null, und dann beide =1 oder =-1).

Fall 2b)

. Setz einfach einmal z.B. i=l=1, j=2, m=3. Dann siehst Du schnell, dass beide Seiten null ergeben. Natürlich muss man das noch präziser aufschreiben.