Bewegungsgleichungen aus D'Alembert-Prinzip

Matterhorn · Anmeldungsdatum: 10.12.2020 Beiträge: 1

Hallo,

ich habe ein Problem mit der Lösung einer Aufgabe bei der es um die Bestimmung eines Massenverhältnisses und einer Bewegungsgleichung mithilfe des D'Alembertschen Prinzips geht. Zu der Aufgabe gehören zwei Skizzen, die ich auch als Anhang begefügt habe.

(a) Wir betrachten die Massen

, die sich entsprechend der Abbildung im Gleichgewicht befinden. Bestimmen Sie aus dem d'Alembertschen Prinzip das Massenverhältnis

für die in der Abbildung angegebene Anordnung.

(b) Zwei Kugeln befinden sich im Schwerefeld (als Massenpunkte betrachtet; Massen

). Sie sind durch eine (masselose) feste Stange der Länge

miteinander verbunden, die um eine horizontale raumfeste Achse

drehbar gelagert ist. Gewinnen Sie aus dem D'Alembertschen Prinzip die die Bewegungsgleichung für den Drehwinkel

. Wie lautet die daraus folgende Gleichgewichtsbedingung (Hebelgesetz)?

Ich habe mir für (a) bisher folgendes überlegt.

Ich habe ja

Massen (mit Ortsvektoren

) auf die jeweils die Kräfte

wirken. Die Massen können sich nur entlang einer Achse bewegen. Die Ortsvektoren haben daher (wenn ich davon ausgehe, dass die Bewegung in der

-Ebene stattfindet) die Form

. Die Zwangsbedingungen wären dann

und

(da sich ja die Positionen der Massen aufgrund der Gleichgewischtsbedingung nicht verändern). Für die Anzahl der Freiheitsgrade bekomme ich dann

. Ich habe allerdings jetzt das Problem zu sehen, wie ich dann meine generalisierten Koordinaten wählen sollte (ich vermute allerdings, dass ich bei kartesischen Koordinaten bleiben kann). Ebenso sehe ich noch nicht, wie ich aus dem Prinzip von D'Alembert Aussagen über die Massen bekommen soll, da dieses ja nur Aussagen über die Zwangskräfte macht. Man kann zwar mithilfe von D'Alembert versuchen, die Zwangskräfte zu rekonstruieren, woraus man dann die Bewegungsgleichungen bekommt, aber dann erhält man immer noch keine Aussage über das Massenverhältnis. Selbst wenn man die beiden Bewegungsgleichungen gleichsetzt (es herrscht ja eine Gleichgewichtssituation) und durch

teilt, so erhält man zwar einen Quotienten

aber keine Aussage über z.B. die Größenordnung dieses Quotienten.

Für (b) habe bisher das folgende

Sei

der Ortsvektor der Masse

. Sei weiter

der Punkt auf der Hantel, durch den die Achse verl"auft. Sei zudem

die Hantellänge. Der Abstand zwischen den Massepunkten ist konstant

. Weiter findet die Bewegung nur in der

-Ebene statt. Daher ergeben sich die Zwangsbedingungen zu

Ich habe somit

Freiheitsgrade. Also wähle ich die 3 generalisierten Koordinaten

.

Für die Ortsvektoren der Massen folgt somit die Darstellung

und

Für die virtuellen Verrückungen gilt

Sind

die Zwangskräfte so gilt nach dem D'Alembertschen Prinzip

Mein Problem ist, dass ich jetzt noch nicht sehem wie ich die Bewegungsgleichungen jetzt finden kann. Denn die obige Aussage gilt ja nur für die Summe über die Skalarprodukte aus Zwangskraft und virtuelle Verschiebung.