Potential einer homogen geladenen Kugel

navix · Anmeldungsdatum: 21.10.2021 Beiträge: 63

Meine Frage:
Ich will das elektrostatische Potential

einer homogen geladenen Kugel mit Radius

berechnen.

Meine Ideen:
Die Formel für das Potential bei einer kontinuierlichen Ladungsdichte ist gegeben als

Aufgrund der Homogenität kann man die Ladungsdichte schreiben als

Wegen der Radialsymmetrie, macht es Sinn Kugelkoordinaten zu verwenden. In meinem Skript ist zudem der Hinweis gegeben, dass man den Vektor

in

-Richtung legen sollte, also

mit

Dann erhält man für das Integral

Ich verstehe nicht, wie man dann auf diesen Schritt kommt:

Insbesondere wie man auf diesen Wurzelausdruck kommt.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Hallo hier !

Willkommen

Ist das nicht einfach der Kosinussatz, angewandt auf diesen Abstand zwischem dem Aufpunkt auf der z-Achse und dem jeweiligen Ort an der Kugel ?

navix · Anmeldungsdatum: 21.10.2021 Beiträge: 63

Okay, das ergibt schon mal Sinn. Danke! Das heißt ich betrachte das Integral

Das letzte Integral ist einfach

, also erhält man

Mit der Substitution

ist

.

Dann kann man das Integral umschreiben in

Oder vereinfacht:

Jetzt kommt nach meinem Skript Folgendes heraus:

Wurde das Integral hier stumpf "ausgerechnet" oder wieder irgendeine Art von Symmetrie ausgenutzt?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Was ergibt das Integral

Das ist ja von der Form

Wenn du dann die Grenzen -1 und +1 einsetzt, wirst du auf das Gesuchte kommen.

PS: Bitte mache nach

navix · Anmeldungsdatum: 21.10.2021 Beiträge: 63

Jetzt hab ich es doch noch verstanden smile

Vielen Dank schnudl!

PS: Den Tipp mit den [latex] Tags werde ich mir merken.