"Kugel rollt"

Gast · Gast

Eine Kugel rollte ohne zu gleiten mit der Anfangsgeschwindigkeit v= 0,8m/s eine geneigte Enbene alpha = 20 grad. Welche Strecke legt sie in der 1 Sekunde zurück.
Meine Frage ist, ob mein Ansatz richtig ist:

Zu erst braucht man die beschleunigung:
Die Gleichung setzt sich aus der Hangabtriebskraft minus Haftreibungskraft ( da sonst die Kugel nicht rollen würde)
ma=G-F(hr)
zu der translation gibt es ja noch eine Rotation
M=r*F(hr)=J*alpha

daraus folgt a=gsinalpha/J
und um den Weg berechnen zu können nehme ich doch einfach:
s=a/2*t^2 + v*t

Ist das der korrekte Lösungsweg ???
Vielen Dank

Dr.Oleg · Anmeldungsdatum: 25.01.2005 Beiträge: 98 Wohnort: Dresden

siehe Lösung zur IPHO 2005, Runde 2, Aufgabe 4

Gast · Gast

kannst Du mir den Link angeben ??? ich das das so nicht finden im internet.
Vielen Dank

Dr.Oleg · Anmeldungsdatum: 25.01.2005 Beiträge: 98 Wohnort: Dresden

Tut mir leid, mit ist gerade aufgefallen, dass die Lösungen so gar nicht im inet stehen.

Habe noch mal meine Lösung gefunden:
Wenn die Kugel rollt, so bedeutet das, sie rotiert immer um den Punkt auf ihrer Oberfläche, der die Schiefe Ebene tangential berührt. Dieser Punkt ändert sich zwar ständig, doch er hat immer den Abstand r zum Mittelpunkt und damit zum Schwerpunkt der Kugel. So lässt sich ähnlich Aufgabe 1b nach der Grundgleichung der Mechanik bezüglich der Drehbewegung eines starren Körpers sagen
JA*d2/dx2(φ) = MA
φ = s*r
d2/dx2(φ) = d2/dx2(s)*r = a*r
Nun gilt offensichtlich(siehe Lösung Aufgabe 1b; der Winkel um den die Kugel zum Berührungspunkt „ausgelenkt“ ist, entspricht gleich dem Winkel in dem die Wirkungslinie der Gewichtskraft und die der Normalkraft zueinander stehen. Damit ist die Auslenkung gleich sin φ*r. )
MA = sin φ*r*m*g
JA = JS+m*r2
aHangabtrieb = 5/7*sin φ*g
aW = aHangabtrieb*cos φ = 5/7*sin φ*g*cos φ

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Die Lösung so wie du sie gemacht hast kommt nicht hin. Das merkt man spätestens, wenn man mit den gegebenen Werten rechnen will und feststellt, dass die Masse der Kugel nicht gegeben ist.

Am besten kommst du dabei, wenn du als Ansatz die Drehbewegung nimmst. Schau dir mal die Skizze unten an. Die Gewichtskraft G erzeugt dank der Schräglage ein Drehmoment um den Drehpunkt. Durch Winkelbeziehungen lässt sich zeigen, dass der Neigungswinkel der Ebene Gamma an der Stelle wiederfindet, wo er eingezeichnet ist. Damit gilt für das beschleunigende Drehmoment:

Dieses Drehmoment ruft eine Winkelbeschleunigung Alpha hervor:

Kennt man Alpha gilt dann analog zu den Translationsbewegungen für den Drewinkel Phi in Abhängigkeit von t:

Und kennt man dann Phi, kann man auf den zurückgelegten Weg schließen mit:

Das erschient mir jetzt ehrlichgesagt etwas hoch ... ich schau dann nochmal drüber. Der Ansatz sollte jedenfalls stimmen.

// edit: Lösung berichtigt - ich hoffe jetzt stimmt's. Danke sax.

Gast · Gast

Hallo Dr. Oleg,

vielen Dank für die Hilfe, meine Formel war einwenig unglücklich formuliert, habe das gleiche rausbekommen, was du gerechnet hast.

Gast · Gast

Hallo para,

bei deiner Lösung ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen:

Wenn du nach F(hr) (F*r=J*alpha) auflöst bekommt du 2/5ma raus. Das musst du wieder rum in die Gleichung für die Translation einsetzten:
ma=F(h)-F(hr)
nach a aufgelöst: a+2/5a=gsinalpha daraus: a=5/7 g sin alpha

Viele Grüsse
gast

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Ich versteh' noch nicht ganz was du meinst - kannst du das vielleicht nochmal erläutern, oder zumindest die Indizes erklären?

Gast · Gast

hallo Para,

ich versuche es Dir mal zu erklären:

Ich habe eine Gleichung aufgestellt für die Translation:
ma=mgsinusalpha - F (haftreibung)

Die zweite Gleichung ist für die Rotation:

M=F(haftreibung)*r=J*alpha (mit alpha a/r)
Diese Gleichung löst du nach F(haftreibung) auf und setzt sie in die erste Gleichung ein.

So wurde die Haftreibung eliminiert, du kannst jetzt nach a umstellen.
Mit J=2/5 mr^2 kommst du auf a= g sin alpha 7/5

Die Haftreibung deswegen, weil ohne haftreibung würde die Kugel rutschen und nicht rollen. deswegen Reibungskraft * Kraftarm = J alpha

Das Problem bei diesen Aufgaben ist, dass es so ungefähr 3 Lösungsansätz gibt und alle führen zum gleichen ergebnis. Diesen finde ich aber am angenehmsten :-))))

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

@para

Deine Lösung war soweit richtig, du hast bloß das Trägheitsmoment der Kugel um ihren Schwerpunkt benutzt. Die Kugel rotiert aber um den Auflagepunkt also gilt:

(steinerscher Satz)
@Gast
Deine Lösung ist auch richtig(zumindest der Ansatz ist richtig die Werte hab ich nicht nachgerechnet), allerdings ist der Fehler den du para unterstellt hast, nicht wirklich vorhanden. Wenn du die Gleichung für die Translation benutzen willst, mußt du natürlich die Haftreibung berücksichtigen. Wenn du aber einfach nur die Rotation um den Auflagepunkt betrachtest, übt nur die Hangabtriebskraft ein Drehmoment aus. Es reicht aber diese Rotation zu berechnen da, Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit nicht Unbabhängig voneinander sind.

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

Um die Verwirrung komplett zu machen und weils so schön ist hier noch ein weiterer Lösungsweg.

Ich benutze den Lagrange Formalismus und die generaliesierten Koordinaten s und

.
s ist der Weg den der Schwerpunkt zurückgelegt hat und

ist der Drehwinkel um den Schwerpunkt.
Zwischen s und phi besteht der Zussamenhang

(1)
und weiterhin

(2)
Der Punkt steht für die Ableitung nach der Zeit.
Die kinetische Energie T setzt sich aus Rotationsenergie und Translationsenergie zusammen.

Mit der Gleichung (2) und

erhält man

Dies ist, nebenbei bemerkt, genau die Energie welche man erhält wenn man die Rotationenergie um den Auflagepunkt mit seinem entsprechenden Trägheitsmoment betrachtet.(in dieser Betrachtungsweise steckt die gesamte Bewegung in der Rotation)

Die potenzielle Energie ist

Die Langrangefunktion ist

Die Bewegungsgleichung erhält man aus den Euler-Lagrange Gleichungen:

Einsetzen, differenzieren und leicht umstellen liefert:

Da

die zweite Ableitung des Winkels nach der Zeit, also die Winkelbeschleunigung ist, ist

die normale Beschleunigung, den Weg auszurechnen ist nun ein Kinderspiel. Dies ist auch fast das Ergebnis von Gast. Er hatte nur 7/5 statt 5/7 geschrieben, aber bei seiner Rechnung kommt eigentlich auch 5/7 raus.

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden